第 1 关圆里的对称机关
井盖、车轮、摩天轮为什么爱用圆？因为从中心到边上的距离处处一样。
O 是圆心，r 是半径，也就是“中心到边有多远”。圆上两点 A、B 连起来叫弦 AB；圆上 A 到 B 的一段弯路叫弧 AB。
再看一根弦 AB。过圆心 O 作直径 CD，并让 CD ⟂ AB，垂足是 M。
这就是垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意，条件里“过圆心”和“垂直”都不能少。
来一题：圆半径 OA = 10 cm，OM ⟂ AB，OM = 6 cm。先在直角三角形 OMA 里算 AM，再算整条弦 AB。
第 2 关同一条弧，角度不乱跑
站在圆边不同位置看同一段“球门”，张开的角居然一样。
蓝点 A、B 固定。拖动圆周上的绿点 P。∠AOB 是圆心角，顶点在圆心；∠APB 是圆周角，顶点在圆上。它们都盯着同一条小弧 AB。
快问快答：同一条弧所对的圆心角是 120°，圆周角是多少？
第 3 关直径一出现，直角就到了
有些图不用算，一眼就能锁定 90° 和 180°。
直径 AB 对着的是半圆，圆心角 ∠AOB = 180°。圆周角只有它一半，所以直径所对的圆周角是 90°。反过来，圆周角是直角，它所对的弦就是直径。
如果四边形 ABCD 四个顶点都在同一个圆上，它叫圆内接四边形。它的对角互补：
① AB 是圆的直径，点 C 在圆上，∠ACB 是多少？
② 圆内接四边形中，∠A = 72°，∠C 是多少？
第 4 关离多远，决定碰几次
判断位置关系，不靠眼神猜。只比距离和半径。
点 P 到圆心的距离记作 OP。OP > r 在圆外，OP = r 在圆上，OP < r 在圆内。
对直线，要看圆心 O 到直线的垂直距离 d。拖动蓝线，看看它和圆有几个公共点。
点的位置：若 OP = 5，圆的半径 r = 5，点 P 在哪里？
第 5 关切线：只碰一下就离开
切线不是“看起来像只碰一下”，有一把能证明的尺子。
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。切点就是它们的交点。
圆外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB，A、B 是切点。两条切线长相等：PA = PB。这叫切线长定理。
算一下：OP = 13 cm，半径 OA = 5 cm，PA 是切线。因为 OA ⟂ PA，△OAP 是直角三角形。PA 多长？
附加挑战：把线调成切线
P 固定在圆外，Q 在圆上。拖角度，让 PQ 恰好垂直 OQ。上方或下方都可以。
第 6 关弧长与扇形面积
整圆是 360°。扇形占多少角度，就拿走整圆的多少份。
n 是圆心角的度数，r 是半径。弧长是圆周长的 n/360，扇形面积是圆面积的 n/360。
半径 r = 6 cm，圆心角 n = 60°。答案保留 π。
第 7 关专抓最常错的坑
这些错法很像对答案。逐个拆掉，考场就不吃亏。
附加挑战：把切线证明排顺
已知 OA = r，点 A 在圆上，直线 l 经过 A，且 l ⟂ OA。证明 l 是圆 O 的切线。拖动下面 4 步排成顺序。
通关测10 题把整圈串起来
每次数字和选项会换。交卷后逐题讲，做对的题会补上对应分数。