🎉 100 分
你已经能用导数看懂函数的升降和峰谷了。
第 1 关速度表为什么不用“平均”
一段路的平均速度好算。可汽车此刻到底多快呢？
函数 f(x)=x² 像一辆越跑越快的车。固定 A 点 x=1，再往前走 Δx。两点连起来，是割线。
Δx 就是“横着走了多少”；Δy 是“函数值涨了多少”。Δy/Δx 就是这小段路的平均变化率。
f(x)=x²，A 点固定
现在割线还离 A 点挺远，所以它只代表一大段的平均变化。
这就是导数要解决的事让 Δx 接近 0。第二个点挪到 A 旁边，割线就贴成切线；平均变化率也逼近“这一瞬间”的变化率。
第 2 关给“这一瞬间”起个名字
刚才看到的极限值，就叫导数。
f′(x₀) = limΔx→0 [f(x₀+Δx)−f(x₀)] / Δx
每个符号都说人话x₀ 是你盯住的“此刻”；f′(x₀) 是函数在这里“变多快”；图上看，它就是曲线在这点的切线斜率。
对 f(x)=x²，在 x₀=3：
[(3+Δx)²−3²] / Δx = 6 + Δx → 6
所以切线斜率是 6。切线经过点 (3,9)，用“点斜式”就是 y−9=6(x−3)。
轮到你：把切线式整理成 y=6x+b，b 是多少？
b =
导数和导函数，有什么区别？
f′(3)=6 是一个点上的导数值。f′(x)=2x 是一整台新机器：你给它哪个 x，它就告诉你原函数在那里变多快。这台机器叫导函数。
第 3 关求导工具箱
公式不多。先认脸，再练“拆开算”。
| 原函数 f(x) | 导函数 f′(x) |
|---|
| 常数 C | 0 |
| xn | nxn−1 |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x（x>0） |
幂函数一句话指数搬到前面当系数，原来的指数减 1。比如 (5x⁴)′=20x³。
| 运算 | 法则 |
|---|
| 常数倍 | (ku)′=ku′ |
| 和、差 | (u±v)′=u′±v′ |
| 乘法 | (uv)′=u′v+uv′ |
| 除法 | (u/v)′=(u′v−uv′)/v² |
| 套娃 g(u) | [g(u)]′=g′(u)·u′ |
复合函数的“过路费”先求外层，再乘内层的导数。看到 (2x−1)³，外层给 3(2x−1)²，内层再交一个 2，答案是 6(2x−1)²。
三题都选对，这个工具箱才算装好。
第 4 关上面在走，下面在报速度
上下两张图联动。鼠标或手指在上图横着走。
上面是 f(x)=x³−3x。下面是它的“速度表” f′(x)=3x²−3。
上：f(x)，蓝线是此刻的切线
下：f′(x)，零线上方为正
现在的读法f′(0)<0，所以上图经过 x=0 时正在往下走。
看图判断：原函数在哪些区间递增？
第 5 关导数的正负，管升降和峰谷
别死记“正增负减”。把导数当成山路的坡度。
- f′(x)>0：坡度朝上，f 在这段递增。
- f′(x)<0：坡度朝下，f 在这段递减。
- 导数从 正变负：先上后下，是极大值点；从 负变正：先下后上，是极小值点。
x
(−∞,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,+∞)
f′
＋
0
−
0
＋
还是 f(x)=x³−3x。在 x=−1 前后，导数 正→负；在 x=1 前后，导数 负→正。
峰和谷分别在哪？
极值点的定义它只和“旁边一小圈”比。局部最高叫极大，局部最低叫极小。极大值不一定是全场最大，极小值也不一定是全场最小。
第 6 关三个大坑，专门拆掉
考试最爱在这三处挖坑。每题答错都会告诉你踩了哪一个。
坑 1：f′(x₀)=0，不等于这里有极值
f(x)=x³，f′(x)=3x²，所以 f′(0)=0。x=0 是极值点吗？
坑 2：闭区间最值，端点必须上场
f(x)=x²−2x 在 [0,3] 上的最大值是多少？
坑 3：复合函数漏乘内层
f(x)=cos(3x) 的导数是？
闭区间最值的固定动作找区间内的驻点 → 算这些点的函数值 → 再算左右端点 → 把所有值摆在一起比。漏端点，前面全白算。
第 7 关让材料最省，让盒子最大
导数不是只会画图。它最擅长找“最划算”。
做盒子：一张边长 12 cm 的正方形纸，四角各剪掉边长 x cm 的小正方形，再折成无盖盒。
先把每个量拴回现实盒高是 x；底面边长是 12−2x；体积 V(x)=x(12−2x)²。纸不能剪穿，所以 0<x<6。
V′(x)=12(x−2)(x−6)。区间里只有 x=2 能当候选。此时体积是多少？
V(2) = cm³
成本最低：某零件成本 C(x)=x²−8x+20（万元），x>0。令 C′(x)=0，最低成本出现在 x 等于多少？
x =
实际最优化四步设变量 → 写目标函数和范围 → 用导数找候选点 → 检查端点/范围，并用题目的单位回答。
通关测10 题随机卷
多项式为主，数字都友好。交卷后逐题拆解；点“换一套”可以反复刷。
附加挑战导函数配对闪电战
上图给 f′(x)，从候选里挑出一个可能的 f(x)。30 秒连闯，最好连对 5 题拿满 20 附加分。
30 秒本轮连对 0最好 0
这是 f′(x)，不是 f(x)
点开始后再作答。提醒：原函数差一个常数，导数仍然相同。
快速配对先看 f′ 是几次：一次函数通常来自二次函数，二次函数通常来自三次函数。再对系数和正负。别把 f′ 的图直接当成 f 的图。
考前 30 秒小抄
- 导数 = 瞬时变化率 = 曲线切线斜率。
- f′>0 原函数增，f′<0 原函数减；导数变号才有极值。
- 幂函数：指数搬下来，指数减 1；复合函数别漏乘内层导数。
- 闭区间最值：驻点和两个端点一起比。