第 1 关函数先查“身份证”
研究走势之前，先问：这个函数在哪些 x 上有资格讨论？
自动售货机有三个信息：能按哪些键、按键后按什么规则工作、可能掉出哪些商品。函数也一样。
定义域x 能在哪些地方活动
对应关系机器按什么规则算 f(x)
值域最后可能得到哪些值
顺序不能反先看定义域，再谈单调性、奇偶性和最值。函数
f(x)=x²，x≥0 与 f(x)=x²，x∈R 公式一样，但不是同一个函数。区间是定义域的简写：端点能取用方括号，不能取用圆括号；∞ 不是一个数，旁边永远用圆括号。
| 条件 | 区间 | 读法 |
|---|---|---|
| −2≤x<3 | [−2,3) | 左闭右开 |
| x>1 | (1,+∞) | 1 不取，向右没头 |
| x≤0 | (−∞,0] | 0 能取 |
热身：−3<x≤2 应写成哪个区间？
第 2 关拖两个点，看“走势”
图像往右走时，是上坡还是下坡？你亲手抓两个点试。
蓝点是 x₁，橙点是 x₂。始终保持 x₁<x₂，也就是先站左边，再站右边。
这一段判断为：
直接拖蓝点或橙点，数值会实时变化。
把“看图”升级成严格定义设函数 f(x) 的定义域为 I。
如果对区间 I 内任意两个值 x₁、x₂，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)<f(x₂)，那么 f(x) 在 I 上单调递增。
若总有 f(x₁)>f(x₂)，就是单调递减。
如果对区间 I 内任意两个值 x₁、x₂，当 x₁<x₂ 时，都有 f(x₁)<f(x₂)，那么 f(x) 在 I 上单调递增。
若总有 f(x₁)>f(x₂)，就是单调递减。
“任取”是关键只找一对点不算证明。一对点只能帮你发现规律；证明要管住区间里的每一对点。
第 3 关把定义法证明排完整
证明 f(x)=3x−1 在 R 上单调递增。五句话顺序乱了，拖回正确位置。
五步骨架任取 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论。字母 x₁、x₂ 不是两个固定点，它们代表区间里随便挑的一对。
第 4 关作差不是瞎算
这次你补关键一格：证明 f(x)=−2x+5 在 R 上单调递减。
设 x₁、x₂∈R，且 x₁<x₂。
f(x₁)−f(x₂)=−2x₁+5−(−2x₂+5)=
因为 x₁−x₂<0，乘以 −2 后结果 ，所以 f(x₁) f(x₂)。
变形的目标尽量把差整理成“一个确定符号的数 × (x₁−x₂)”。这样 x₁<x₂ 就能立刻派上用场。
第 5 关区间和最值，别串台
单调区间是一段一段说；最值是在指定地盘里比高低。
f(x)=1/x 在 (−∞,0) 上递减，在 (0,+∞) 上也递减。能写成“在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上递减”吗？
为什么不能用并集跨过断点取 x₁=−1、x₂=1。虽然 x₁<x₂，但 f(x₁)=−1<1=f(x₂)，不符合递减。单调区间之间用逗号隔开，不用并集符号拼成一个区间。
最值是“全场冠军”：若对定义域内每个 x，都有 f(x)≤M，而且某个 x₀ 真的让 f(x₀)=M，那么 M 是最大值。最小值把 ≤ 换成 ≥。
函数 f(x)=(x−1)² 在区间 [−1,4] 上：
最小值 最大值
第 6 关把图像翻过去，会重合吗
偶函数照 y 轴像镜子；奇函数绕原点转半圈。
原图翻折后的图
选一种翻法，观察两条线是否重合。
这个函数是：
定义和图像是一回事定义域关于原点对称时：
f(−x)=f(x) → 偶函数 → 图像关于 y 轴对称；f(−x)=−f(x) → 奇函数 → 图像关于原点对称。先查定义域
f(x)=x²，x≥0 的公式看着很“偶”，但定义域 [0,+∞) 不关于原点对称，不能叫偶函数，也不能叫奇函数。第 7 关易错坑，一次踩明白
四个判断，专打考试里最常见的顺手错误。
奇偶性和单调性会联动在关于原点对称的区间上：奇函数左右两边的单调方向相同；偶函数左右两边的单调方向相反。比如 x³ 两边都增，x² 在左边减、右边增。
通关测10 题把全图串起来
每次打开数字都会换，保证好算。交卷后逐题讲错因；错题改对还能补分。
附加实验调出指定的走势和对称
函数 f(x)=ax³+b。a 管上升还是下降，b 管整条图像上下挪。完成 4 个任务，共 20 附加分。
f(x)=1x³ + 0