第 1 关一条路，先看它朝哪儿
斜率不是凭空冒出来的数。它是在说：往右一步，会上升多少。
导航软件要描述一条笔直的路，光说“很斜”不够。咱们需要两个更准的量：
- 倾斜角 α：从 x 轴正方向出发，逆时针转到直线，转过的角。范围是
0° ≤ α < 180°。 - 斜率 k：往右走的格数不为 0 时，
k = y 的变化量 ÷ x 的变化量。它管“上坡还是下坡、陡不陡”。
过关题
A(1, 2)、B(4, 8) 连成的直线，斜率是多少？如果两点的 x 坐标相同，斜率又是什么状态？
第 2 关五种写法，是五种工具
不是公式越多越吓人。题目给什么，就拿最顺手的那把工具。
| 形式 | 长相 | 什么时候顺手 | 不能忘的范围 |
|---|---|---|---|
| 点斜式 | y−y₀=k(x−x₀) | 已知一点和斜率 | 要有斜率；漏掉竖直线 x=x₀ 是大坑 |
| 斜截式 | y=kx+b | 已知斜率和 y 轴截距 | 竖直线不能写成它 |
| 两点式 | (y−y₁)/(y₂−y₁)=(x−x₁)/(x₂−x₁) | 已知两个点 | 这个写法要求 x₁≠x₂ 且 y₁≠y₂；水平、竖直线直接写 |
| 截距式 | x/a+y/b=1 | 已知非零的 x、y 轴截距 | a、b 都不能为 0；过原点的线不能用 |
| 一般式 | Ax+By+C=0 | 最稳，比较关系和算距离都好用 | A、B 不能同时为 0；竖直线也能装下 |
(x₀,y₀) 是直线踩住的那个已知点；k 是方向；a、b 是线在两根坐标轴上“撞到”的位置；A、B 决定法向方向，C 决定整条线离原点多远。把场景和工具配上
第 3 关两条线：同向、直角，还是碰头
先比方向，再找交点。一般式能把竖直线也照顾到。
都能写出斜率时
平行：k₁ = k₂（不同直线还要截距不同）
垂直：k₁k₂ = −1
一般式更稳
平行：A₁B₂−A₂B₁=0
垂直：A₁A₂+B₁B₂=0
x=2 没有斜率，y=3 的斜率是 0，但它俩明明垂直。此时用一般式：x−2=0 和 y−3=0，算 1×0+0×1=0，稳稳判断。先判关系
l₁: 2x−3y+1=0，l₂: 3x+2y−7=0，它们是什么关系？
再找交点
y=2x+1 和 y=−x+7 的交点是：
交点为什么是“联立方程”？
交点同时住在两条线上，所以它的 x、y 必须同时让两个方程成立。两条斜截式就先让右边相等：2x+1=−x+7，找到 x，再代回去找 y。
第 4 关距离：不是随便连，要走最短
点到直线最短的路，永远是那条垂线段。
直线 Ax+By+C=0 外有一点 P(x₀,y₀)：
分子像“把点塞进直线左边，看看偏了多少”；分母把 A、B 的整体倍数消掉。这样同一条线写成两倍，距离也不会变。
你来算两种距离
① 原点 O(0,0) 到 3x+4y−20=0 的距离。
② 平行线 3x+4y−5=0 与 3x+4y+10=0 的距离。
|C₁−C₂|/√(A²+B²)。A、B 还没对齐就直接减 C，会错。第 5 关圆的方程：圆心是家，r 是活动半径
一个点离固定地点永远等距，走出来就是圆。
圆心 C(a,b) 是“家”，圆上每个点 P(x,y) 离家的距离都是 r：
这叫标准方程。看到 x−a 才知道圆心横坐标是 a，所以括号里符号和圆心坐标看起来是反的。
x²+y²+Dx+Ey+F=0配方后，圆心是
(−D/2, −E/2)，r²=(D²+E²−4F)/4。只有 D²+E²−4F>0 才是真正的圆；等于 0 缩成一个点，小于 0 连实点都没有。配方拆包
x²+y²−4x+6y−12=0 的圆心和半径是：
它到底是不是圆？点在哪里？
x²+y²+2x−4y+8=0
对圆 (x−1)²+(y+2)²=25，点 P(4,2)
点和圆怎么比，不用开根号吗？
不用。算 S=(x₀−a)²+(y₀−b)²，直接和 r² 比：S<r² 在圆内，S=r² 在圆上，S>r² 在圆外。少开一次根号，手更稳。
第 6 关直线遇到圆：先量距离
别急着联立。圆心到直线的距离 d，已经把答案说完了。
d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交。相交时，半条弦、d、r 正好拼成直角三角形，所以弦长 L=2√(r²−d²)。比硬解一元二次方程轻很多。固定题：关系和弦长
圆心 C(1,2)，半径 5；直线 3x+4y+9=0。先判断位置关系，再算弦长。
挑战小游戏：把蓝线调到刚好相切 +20 附加分
就用上面的滑块。随便调 k 和 b，让 d=r。差值小于 0.03 就算稳稳贴住。
切线与两个圆，也是一套距离语言
- 圆
(x−a)²+(y−c)²=r²上一点 P(x₀,y₀) 的切线：(x₀−a)(x−a)+(y₀−c)(y−c)=r²。半径 CP 就是切线的法向。 - 两个圆先量圆心距
s：和r₁+r₂、|r₁−r₂|比。依次会遇到外离、外切、相交、内切、内含。
| 圆心距 s | 两圆关系 |
|---|---|
s>r₁+r₂ | 外离 |
s=r₁+r₂ | 外切 |
|r₁−r₂|<s<r₁+r₂ | 相交 |
s=|r₁−r₂|（两圆不重合） | 内切 |
s<|r₁−r₂| | 内含 |
第 7 关专门抓坑：错一次就记住
这关不拼计算，拼的是“我知道这个公式什么时候不能用”。
x=x₀；一般圆先查 D²+E²−4F>0；点斜式和斜截式都装不下斜率不存在的线；直线碰圆先算 d；两圆先算圆心距。通关测10 题随机卷
每次都会换数字。交卷后逐题拆开讲，做对过的分数会一直保留。