第 1 关先问：是“选一种”还是“接着做”
公式先放一边。咱们从点单开始。
午饭可以选 3 种面，也可以选 2 种饭。你只吃一份，共有 3 + 2 = 5 种选法。这叫分类加法：走这条路，或走那条路。
要是先选 3 种主食，再配 2 种饮料，每份套餐有两步，共有 3 × 2 = 6 种。这叫分步乘法：先做这步，再做下一步。
二选一：加法
3 + 2 = 5
两步都做：乘法
3 × 2 = 6
一句暗号
“或”常加，“再”常乘
别只盯关键词“或”出来的几类必须互不重叠；“分步”必须每一步都完成，才算一种完整做法。
过关题：从 4 件上衣和 3 条裤子里，各选一件搭成一套。共有多少套？
第 2 关A 和 C，到底差在哪
把所有结果真的摊开。看一眼，比背十遍管用。
现在有 。从中取 2 人：
排列 A(n,m)：顺序算
“甲乙”和“乙甲”是两种。
组合 C(n,m)：顺序不算
只看选中了谁。
排列数 A(n,m)
12
组合数 C(n,m)
6
排列是组合的
2 倍
A(n,m) = n(n−1)…(n−m+1)
C(n,m) = A(n,m) ÷ m!
C(n,m) = A(n,m) ÷ m!
字母翻译n 是“总共有几个”；m 是“取几个”；m! 是这 m 个人内部能换出的顺序数。组合不认顺序，所以要把重复的顺序除掉。
过关题：4 人中选班长、学习委员各 1 人（不能兼任），填总数；再填只选 2 名代表的总数。
有职务 只选代表
第 3 关四个高频模型，先认动作
相邻就捆，不相邻就插；定序要除，分组先看组名。
一张判断清单相邻：把一团当一个“大人”；不相邻：先排别人，再往空里插；固定相对顺序：总排列除以这些人的内部排列；分组：组有名字就分别选，等大小且没名字要除掉组之间的重复。
模型小测：四题全对才过关
第 4 关杨辉三角，藏着组合数和二项式
每个数都是左上角 + 右上角。整行就是展开式的系数。
C(n,m) = C(n,n−m)
C(n,m) + C(n,m+1) = C(n+1,m+1)
C(n,m) + C(n,m+1) = C(n+1,m+1)
二项式 (a+b)n 的第 r+1 项是：
Tr+1 = C(n,r) · an−rbr
为什么是第 r+1 项第一项里 b 的次数是 0。所以 b 的次数是 r 时，它已经走到了第 r+1 项。这个“差 1”特别爱考。
随机过关题：
第 5 关条件概率：门一关，分母就变了
“已知 A 发生”不是多给一句废话，它把范围缩小到了 A 里面。
某兴趣班里，20 人中有 12 人会游泳（事件 A），会游泳的人里有 5 人也会滑雪（A∩B）。已知随机抽到的人会游泳，他也会滑雪的概率是多少？
P(B|A) = P(A∩B)P(A) = 5 / 12
分母翻译竖线“|”读作“在……条件下”。既然已经知道人在 A 里，就只在 A 的 12 人里挑，不再除以全班 20。
分子 分母
独立：知道 A，不会改变 B 的概率
如果 A、B 独立，那么 P(B|A)=P(B)，等价地：
P(A∩B) = P(A)P(B)
第 6 关二项分布实验室
同一件事独立做 n 次，数“成功了几次”。这个次数 X 就服从 B(n,p)。
三个字母的大白话n：一共试几次；p：每次成功的机会；X：这 n 次里成功了几次。每次只有成功/失败，成功率不变，各次互不影响。
P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−k
期望 E(X)=np
5
方差 D(X)=np(1−p)
2.5
图上橙线
长期平均位置
蓝柱是理论概率。模拟后，橙色频率柱会叠在上面。
期望不是保证E(X)=5，不是说每轮一定成功 5 次。它是很多轮的平均落点。方差越大，柱子铺得越散。
调参数挑战
只拖上面的 n 和 p，让期望、方差同时命中：
第 7 关易错点排雷
不是算不动，往往是“一开始就数错了”。五个坑一次填平。
通关测10 题把整条线串起来
每次打开数字都会变。交卷后逐题告诉你卡在哪。
挑战排列还是组合？限时连闯
先判断顺序算不算，再算结果。答错会断连击，还会扣 3 秒。
点“开始挑战”，题目会出现在这里。
两秒判断法交换两个人，如果结果变了，用排列 A；交换后还是同一拨人，用组合 C。先判“顺序”，再按公式算。
小抄考前只看这些
- 加法 / 乘法：完成一件事有互斥的几类，用加法；要依次完成几步，用乘法。
- A / C：换顺序算新结果，用 A；只看选中谁，用 C。A(n,m)=C(n,m)·m!。
- 相邻 / 不相邻：相邻先捆绑；不相邻先排其他人，再插空。
- 定序 / 分组：固定 m 人相对顺序，除以 m!；等大小无名组还要除组的排列数。
- 组合数：C(n,m)=C(n,n−m)；杨辉三角每项等于左上 + 右上。
- 通项：Tr+1=C(n,r)an−rbr。项数比 r 多 1。
- 条件概率：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。已知 A，就把分母换成 A。
- 独立：P(A∩B)=P(A)P(B)。别把“互斥”和“独立”混了。
- 二项分布：X~B(n,p)，P(X=k)=C(n,k)pk(1−p)n−k，E(X)=np，D(X)=np(1−p)。
最后一句先把一个结果到底是什么说清楚。数对了，公式只是帮你把数得更快。