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数列闯关

等差 · 等比 · 求和

别把数列当公式堆。它就是一队排好号的数。

第 1 关数列：每个数都有座位号

电影院按排编号，跑步成绩按名次排。数字一排队，事情就清楚了。

班费每天比前一天多存 3 元：5，8，11，14，…。这不是一袋散着的数，它们有先后顺序。

an：第 n 个座位上的数
a1：队伍最前面的第 1 项
n：座位号，只能取 1，2，3，…
通项公式：输入座位号 n，直接找到 an
通项不是“总和”an 只问第 n 项是谁。比如 an=3n+2，把 n=4 放进去，得到的是第 4 项 14。

试一下：an=2n−1，第 7 项是多少？

a7 =

第 2 关等差实验台：每一步加同一个数

楼梯每级一样高。数列也可以每次迈同样大的一步。

从 a1 出发，每往后一个座位，就加一次 d。d 叫公差，翻成人话就是“每步加多少”。

课本定义，翻成算式从第 2 项起，后一项减前一项总是同一个常数：an+1−an=d。做差相同，才叫等差。
an = a1 + (n − 1)d

为什么是 n−1？从第 1 项走到第 n 项，只走了 n−1 步。去第 5 个座位，跨 4 步，不是 5 步。

🎯 调参小挑战

让前 5 项变成目标数列。拖 a1 和 d，完全对上就过关。

第 3 关等差求和：首尾配成一对

1 加到 100，真要按计算器 100 次吗？当然不用。

把同一个和倒过来写：第一项配最后一项，第二项配倒数第二项。每一对都等于 a1+an，一共有 n 对，但写了两遍 Sn。

Sn = a1 + a2 + … + an
Sn = an + an−1 + … + a1
2Sn = n(a1+an)

知道首项和末项

Sn=n(a1+an)/2

不知道末项

Sn=na1+n(n−1)d/2
等差中项如果 A，G，B 成等差数列，中间的 G 正好是两边平均数：2G=A+B。

两题一起拿下：等差数列 3，7，11，…

第 4 关等比实验台：每一步乘同一个数

细菌翻倍、复利增长、纸张越折越厚，都不是“每次加”，而是“每次乘”。

从 a1 出发，每往后一步乘 q。q 叫公比，就是“每次变成原来的几倍”。

课本定义，翻成算式从第 2 项起，后一项除以前一项总是同一个非零常数：an+1/an=q。所以等比数列里各项、q 都不能是 0。
an = a1qn−1

q ≠ 1

Sn=a1(1−qn)/(1−q)
也可写成 a1(qn−1)/(q−1)

q = 1，单独算

Sn=na1
每项都一样，n 个 a1 相加。
全页最大的坑q=1 时，等比求和公式分母 1−q 会变成 0，不能硬套！先看 q，再选公式。
等比中项如果 A，G，B 成等比数列，那么 G²=AB。实数范围里要注意：AB>0 时通常有两个 G（正负都可能）。

检查：等比数列 3，6，12，… 的前 5 项和是多少？

S5 =

第 5 关只给 Sn，怎么找 an？

总账减去昨天的总账，就是今天新加的那一笔。

Sn 是前 n 项的总和。比如 S5−S4，前 4 项全抵消，只剩 a5。

an = S1n=1Sn−Sn−1n≥2
为什么必须分段？n=1 时不能随手写 S1−S0，题目通常没定义 S0。而且用差式算出的“通项”不一定在 n=1 也成立，必须把 a1=S1 单独代回检查。

已知 Sn=n²+2n。

展开 Sn−Sn−1 给我看

n²+2n−[(n−1)²+2(n−1)] = n²+2n−(n²−1) = 2n+1。这里 a1=S1=3，2n+1 在 n=1 也恰好等于 3，所以最后可以合写 an=2n+1。

第 6 关五种求和法：先认长相

求和不是见一个算一个。先看它长什么样，再挑工具。

错位相减动画

等差 × 等比，最适合把 qSn 错一格再相减。点“下一步”看项怎么消掉。

错位相减最常漏什么？头和尾。中间项消得很爽，但最前面的 a1 和最后冒出来的 qn 项没人配对，千万别一起划掉。

选工具：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(9×10) 最适合哪种方法？

第 7 关易错急诊室

这三坑不是“粗心”。把错因说清，下次才躲得开。

附加挑战⚡ 数列侦探

45 秒，看前四项，判断等差还是等比，再报出 d 或 q。答对会亮出通项。

⏱ 45 秒本轮答对 0最好 0 / 10
点开始，数列会出现在这里
答对 10 题拿满 30 附加分。答错扣 3 秒。

通关测随机 10 题

数字每次都会换。交卷后逐题拆解，做对的题会永久记分。