第 1 关不用爬树，也能量树高
太阳照出的影子，先把“够不着”变成“量得到”。
同一时刻，太阳光几乎是互相平行的。人和树都竖直，地面也一样平。于是“人—影子”和“树—影子”这两个三角形，角一样，形状也一样。
人高 1.6 m，影长 2 m；树影长 7.5 m。树比人的影子放大了 7.5 ÷ 2 = 3.75 倍，树高也放大 3.75 倍。
树高 = 1.6 × 3.75 = 6 m
今天要抓住的感觉形状不变，只把每条边一起放大或缩小。这就是“相似”。那个统一的倍数，叫相似比。
先认一个名字：比例线段四条线段 a、b、c、d，如果 a / b = c / d，就说它们成比例。顺序必须对应，参与比较的长度单位也要先统一。
平行线为什么总能造出比例？
AD / AB
0.50
AE / AC
0.50
DE / BC
0.50
平行线分线段成比例在 △ABC 中，DE ∥ BC，那么 AD / AB = AE / AC = DE / BC。也能写成 AD / DB = AE / EC。前后要站同一边，别串位。
上面例子里的树高是m
第 2 关实验台：一起缩放，比例不乱
蓝三角形不动。拖动 k，看紫三角形统一放大。
对应边比
1.5
周长比
1.5
面积比
2.25
相似三角形的定义三个对应角分别相等，三条对应边成比例，两个三角形就相似。记作 △ABC ∽ △DEF。顺序不是装饰：A 对 D，B 对 E，C 对 F。
相似比有方向若说“△ABC 与 △DEF 的相似比”，就是 AB / DE。把前后调过来，相似比变成倒数。角没有“几倍”，只说相等。
调参挑战：把面积比调到 4。也就是让 k 调到多少？
拖滑块试。边放大几倍，面积会放大得更快。
第 3 关判定：最少知道什么就够
定义要查六组关系，考试不会让你这么累。下面三把钥匙更快。
AA：两角
两组角分别相等，第三组角自动相等。最常用。
SAS：夹角
两组对应边成比例，而且它们的夹角相等。
SSS：三边
三组对应边都成比例。
SAS 的“夹”很要紧已知两边成比例，再给一个不是夹角的角，不能保证相似。这种错法叫“边边角”，没有 SSA 判定。
三题都选对，就拿下这一关。
第 4 关找骨架：A 字型、8 字型、母子型
线再多，也先找平行、公共角和对顶角。按题目要求点图。
看清题目，再点左图或右图。
A 字型大三角形里有一条线平行于底边。小三角形和整个大三角形相似：△ADE ∽ △ABC。
8 字型两条线交叉，先拿到一组对顶角；两边再平行，又拿到一组内错角：△AOB ∽ △COD。
母子型直角三角形从直角顶点向斜边作高，会切出两个小直角三角形。两个“小三角形”和原“大三角形”两两相似。认角时先找三个直角，再找共用的锐角。
第 5 关相似比能带走什么
对应角不变；长度一起乘 k；面积要乘 k²。
若 △ABC ∽ △DEF，相似比 AB / DE = k，那么：
- 对应边比 = k，周长比 = k；
- 面积比 = k²；
- 对应角相等，例如 ∠A = ∠D。
别把面积也写成 k每条边都放大 k 倍。面积里有“长 × 高”，两处都乘 k，所以一起变成 k × k = k²。
位似：围着一个中心统一缩放
图中 O 是位似中心。O、A、A′ 在同一条射线上，且 OA′ / OA = k；其他对应点也一样。以原点 O 为位似中心时，(x, y) → (kx, ky)。
点 P(2, −1) 按 k = 2 位似后是 P′(,)
第 6 关专治最常错的坑
每题判断“对 / 错”。错了会把坑指出来。
5 个坑都判断对，才算真的绕开了。
第 7 关实战：树高、河宽和影子
先确认两组角相等，再列“同位置比同位置”。单位先统一。
人高
1.5 m
影长放大倍数
4
树高
6 m
测河宽也是同一招设 AB 是河宽。近岸的 B、E、C 在一条直线上，E 在 B、C 之间；过 C 作 CD ⟂ BC，并让对岸 A、E、D 在同一视线上。△ABE ∽ △DCE，所以 AB / CD = BE / CE。若 CD=6 m、BE=8 m、CE=4 m，那么 AB=6×8÷4=12 m。全程只量岸上的线段。
小挑战：一根 1.2 m 的竹竿影长 0.8 m，同一时刻树影长 4 m，树高多少？
m
通关测10 题随机卷
覆盖全部关卡。每次打开数字会变，但都保证好算、有解。每题 2 分。
小抄考前最后看一眼
- 平行出比例：DE ∥ BC → △ADE ∽ △ABC。
- 相似顺序：△ABC ∽ △DEF 就是 A↔D、B↔E、C↔F。
- 三种判定：AA；SAS（夹角）；SSS。没有 SSA。
- 比值：对应边比 = 周长比 = k，面积比 = k²。
- 找基本图：A 字型找平行，8 字型找对顶角，母子型找斜边上的高。
- 位似坐标：以原点为中心，(x,y) → (kx,ky)。
- 应用题：先证相似，再列对应边比例，单位统一，最后写单位。