第 1 关为什么平面图不够用了
教室里的灯管、墙面和地面，不肯全挤在一张纸上。
两条路画在地图上交叉，现实里可能一条是高架，一条在地面，根本碰不到。空间里多了一个“前后/高低”，只看纸面很容易被骗。
咱们先认清三组关系。这里的“直线”会一直向两边延伸，不是只看画出来那一小截。
相交有且只有一个公共点
平行同一平面内，永不相交
异面不同平面，既不相交也不平行
最容易漏的四个字说两条直线平行，要先有“在同一平面内”。不在同一平面又不相交，叫异面，不叫平行。
线和面、面和面也有自己的位置表直线与平面：在面内、相交、平行；两个平面：重合、相交、平行。垂直不是第四种位置，它是“相交”里最整齐的特殊情况。
第 2 关把正方体拿到手里转
这是整页的核心实验台。鼠标拖，手机上用一根手指拖。
拖动画布旋转 · 点下面按钮换观察任务
指定的线
指定的面
普通棱
AB 与 CC₁不相交，方向也不同，而且找不到一个平面同时装下它们。所以它们是异面直线。转到侧面看，会更明显。
挑战：随机点两条棱
判断它们是平行、相交还是异面。每答对一组，附加分 +2，最多 20 分。
先转一转，再判断。
第 3 关平行：方向没拐弯
线面平行、面面平行，都要把“看起来”换成能证明。
线面平行的判定
平面外一条直线，平行于平面内一条直线 → 这条线平行于这个平面。
平面外一条直线，平行于平面内一条直线 → 这条线平行于这个平面。
线面平行的性质
一条线平行于一个平面；过这条线的平面去截它 → 交线和原直线平行。
一条线平行于一个平面；过这条线的平面去截它 → 交线和原直线平行。
面面平行的判定
一个平面内两条相交直线，分别平行于另一个平面 → 两平面平行。
一个平面内两条相交直线，分别平行于另一个平面 → 两平面平行。
面面平行的性质
两个平行平面被第三个平面截 → 两条交线平行。
两个平行平面被第三个平面截 → 两条交线平行。
大白话锚点“线面平行”不是线躺在面里。它得在平面外，只是方向和面里某条线一样。A₁B₁ 平行于面 ABCD；AB 在面 ABCD 内，不能说 AB ∥ 面 ABCD。
要证明平面 α ∥ 平面 β，已知 a、b 在 α 内。还缺哪组条件最稳？
第 4 关垂直：一条不够，要两条相交
这是高频坑。线垂直于平面内一条线，远远不够。
l ⟂ a，l ⟂ b，且 a、b 相交
⇒ l ⟂ 平面 α
为什么非要“相交”？因为两条相交直线锁住了平面里的两个独立方向。只垂直一个方向，l 还可能斜着钻过去。
线面垂直的性质
l ⟂ α，那么 l 垂直于 α 内每一条直线。
l ⟂ α，那么 l 垂直于 α 内每一条直线。
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线 → 两平面垂直。
一个平面经过另一个平面的垂线 → 两平面垂直。
面面垂直的性质
α ⟂ β，在 α 内作垂直交线的直线 → 这条线垂直 β。
α ⟂ β，在 α 内作垂直交线的直线 → 这条线垂直 β。
同垂直关系
两条直线都垂直同一平面 → 两直线平行。
两条直线都垂直同一平面 → 两直线平行。
已知 a、b 在平面 α 内，直线 l ⟂ a，l ⟂ b。再补哪一条，才能推出 l ⟂ α？
第 5 关空间里的角，到底找哪两条线
角都能落到“两条相交直线”上。关键是把那两条线找对。
异面直线所成角
平移其中一条，让它经过另一条上的一点。新得到的两条相交直线夹的锐角或直角，就是答案。平移只搬位置，不改方向。线面角
斜线和它在平面上的正投影所成的锐角。线垂直平面时是 90°；线平行或在面内时是 0°。二面角
先找两平面的交线（棱）。在两个面内，从交线上同一点各作一条垂直于棱的射线。这两条射线的角，才是二面角的平面角。三垂线定理，先看投影从平面外一点 P 向平面作垂线，垂足是 O；A 在平面内，PA 是斜线，OA 是它的投影。平面内过斜足 A 的直线 b 若垂直 OA，那么 b 也垂直 PA。大白话：影子已经和 b 成直角，斜着抬起来后，PA 仍不会朝 b 的方向偏。
平面 α、β 交于直线 l。下面哪组角是二面角 α-l-β 的平面角？
第 6 关空间向量：把“看图”变成“算数”
建系以后，一个点是三元坐标，一个方向也是三个数。
取 O 为原点，三条互相垂直的轴是 x、y、z。点 A(x,y,z) 的三个数，就是“沿三根轴各走多少”。向量 v=(a,b,c) 说的是方向和步长。
向量夹角
cos θ = (a·b) / (|a||b|)
a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
cos θ = (a·b) / (|a||b|)
a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
点到平面距离
平面 Ax+By+Cz+D=0
d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
平面 Ax+By+Cz+D=0
d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
线面角
线的方向向量 v，平面法向量 n：sin θ = |v·n|/(|v||n|)
线的方向向量 v，平面法向量 n：sin θ = |v·n|/(|v||n|)
二面角
先算两个面的法向量夹角，再看图判断取它还是补角。
先算两个面的法向量夹角，再看图判断取它还是补角。
动态图：面绕着棱张开
现在两个面的平面角是 60°，选好朝向后，两根法向量的夹角也是 60°。
调参数挑战：找出同方向的法向量
目标平面 x + y + z = 3。法向量就是系数排成的三元组。拖出一个与目标法向量平行的向量；同倍数、反方向都算对。
再算一个距离
点 P(1,2,3) 到平面 x+2y+2z−3=0 的距离是几分之几？
d = /
第 7 关易错点：专拆四个坑
这关不绕。每个选项背后，都是试卷上常见的失分方式。
通关测10 题，覆盖整页
部分题目每次会换数据。交卷后逐题讲；答对一题拿 1 分，做错可以再补。
小抄进考场前看这一屏
- 两直线：相交＝一个公共点；平行＝共面且不交；异面＝不共面。
- 线面平行判定：平面外的线 ∥ 平面内的一条线。
- 线面垂直判定：垂直平面内两条相交直线，相交不能漏。
- 面面平行：一个面内两条相交直线分别平行另一个面。
- 面面垂直：一个面经过另一个面的垂线。
- 异面角：平移成相交；线面角：斜线与正投影；二面角：同点、两边都垂直棱。
- 向量：垂直看点积为 0，平行看成比例；线面角用方向向量和法向量；二面角用两法向量。
最后一句空间题别靠“看起来”。先找关系，再把角落到两条相交直线上；实在看不清，就建系算。