第 1 关直角不够用了
先从你熟悉的直角三角形出发。
站在河岸上测对岸一棵树。你能量岸边的一段距离，也能测两个方向角，可你没法踩着水去量斜边。
直角三角形里，我们靠 sin A = 对边 ÷ 斜边。可现实里的三角形常常没有直角。这时要换两把更大的尺子：
手里有“边和它的对角”这一对，就优先想它。
三边全知道，或两边夹一角，就让它上场。
热身：边 b 正对哪个角？
第 2 关拖出任意三角形
三个顶点都能拖。边和角会实时重算。
第 3 关正弦定理：边角配对
它把“边”和“正对面的角”绑成一组。
a、b、c 是三条边，A、B、C 是各自的对角。R 是这个三角形外接圆的半径。整条式子在说：边越长，它正对的角通常也越大。
1把三角形放进外接圆
画直径 BD。因为 BD 是直径，∠BCD = 90°，而 BD = 2R。
2回到直角三角形 BCD
sin∠BDC = BC ÷ BD = a ÷ 2R。∠BDC 和 ∠BAC 都看着同一条弦 BC；若两角互补，正弦值也仍然相等。所以 a = 2R sin A。
3轮换字母
同样做两次，就有 b = 2R sin B、c = 2R sin C。三个式子一起除过去，就是上面的正弦定理。
小题：△ABC 中，a = 8，A = 30°，外接圆半径 R 是多少？
第 4 关余弦定理：勾股升级版
没有直角，也能用两边和夹角算第三边。
右边的 A 是 b、c 的夹角，算出来的是 A 的对边 a。另两条式子只是把字母轮换：b²=c²+a²−2ca cosB，c²=a²+b²−2ab cosC。
a² = b² + c²。勾股定理只是余弦定理在直角时的特写。你来算：b = 6，c = 8，夹角 A = 90°，求 a。
如果已知三边，怎么反求角？
把式子搬家：cos A = (b²+c²−a²) ÷ 2bc，再用计算器求 A。注意计算器要在“角度 DEG”模式。
第 5 关看条件，选武器
别见到三角形就乱套公式。先看题目给了什么。
分类挑战：给每组条件选第一步该用的定理。全对才过关。
第 6 关SSA：同样条件，两个答案
这不是计算器出错，是三角形真的能摆成两个。
固定 A = 30°、b = CA = 10，再让 a = BC 改变。点 B 必须同时待在：从 A 出发的 30° 射线上、以 C 为圆心且半径为 a 的圆上。交点有几个，三角形就有几个。
当前 a = 8.0 时，一共有几个三角形？
第 7 关坑点集中营 + 实战
最容易丢分的地方，放在一起拆掉。
a 只能配 sin A，不能看哪个字母顺眼就配哪个。
余弦式里的 A 必须夹在 b、c 中间。
sin B = sin(180°−B)。SSA 算出锐角后，要试试补角。
题目用“度”，计算器就放 DEG，不要用 RAD。
S = ½ab sin C。a、b 是两条边，C 是它们的夹角。可以想成“底 × 高 ÷ 2”，其中高就是 b sin C。四道辨析，一次扫坑：
第 8 关随机通关测
10 题覆盖全部关卡。数字每次会换，交卷后逐题讲。
附加挑战：选定理，再解出来
随机连闯 5 题。每题先选正弦/余弦定理，再填答案。每过一题加 2 附加分。