第 1 关只说“5 米”，真的够吗？
先从一个迷路现场开始。
朋友说：“我离你 5 米。”你还是找不到他。因为他可能在东边，也可能在西边。
要把位置变化说清楚，得同时给两件事：走多远，以及往哪走。这种既有大小又有方向的量，叫向量。
箭头怎么读箭尾是起点，箭头是终点。a = AB→ 表示“从 A 走到 B”。箭的长度是 |a|，也叫向量的模。
热身：下面哪个信息已经能唯一说清一次位移？
顺手分清路程、温度、面积只有大小，是数量；位移、速度、力还带方向，是向量。向量不能比较“谁更大”，只能比较模。
第 2 关箭头挪个地方，还是它吗？
相等看两样，共线只看一样。
相等向量大小相等，方向也相同。箭头放在哪儿不重要。
共线向量方向相同或相反。它们所在直线平行或重合。
零向量记作 0，大小是 0，方向不确定。它和任何向量都共线。
别把“平行”听成“同向”a ∥ b 允许同向，也允许反向。只有“相等”才必须同向、等长。
三句话，选出正确的两句：
第 3 关把两次移动接起来
直接拖两个箭头。蓝色是 a，橙色是 b，绿色是 a + b。
拖蓝、橙箭头的圆点
a
b
a + b
坐标其实很老实：横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标。
(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
按现在画面，填出 a + b：
a + b =（，）
第 4 关减法、数乘和坐标运算
所有运算都落回“每个坐标各算各的”。
减法a − b = a + (−b)。
减 b，就是加一支反向、等长的 b。
减 b，就是加一支反向、等长的 b。
数乘λa 把长度变成 |λ| 倍。λ<0 时，箭头还会掉头。
a − b = (x₁ − x₂, y₁ − y₂)
λa = (λx₁, λy₁)
λa = (λx₁, λy₁)
随机练一题：
答案（，）
第 5 关数量积：看两支箭头有多“同路”
拖橙色箭头绕一圈。角度、正负和投影会一起变。
拖橙色圆点
夹角 θ
a · b
正 / 零 / 负
a · b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂
你来判断：夹角是钝角时，a · b 应该是什么符号？
第 6 关易错岔路口：平行还是垂直？
这是整页最大的坑。两条公式长得像，用途完全不同。
判共线（平行）x₁y₂ − x₂y₁ = 0
看的是二维“交叉乘”相减。
看的是二维“交叉乘”相减。
判垂直x₁x₂ + y₁y₂ = 0
就是数量积等于 0。
就是数量积等于 0。
口令平行：交叉乘、再相减。垂直：同位置乘、再相加。
第 7 关投影和向量法解几何
把图形关系翻成向量关系，很多证明会突然变短。
投影就是“b 在 a 方向上，真正贡献了多少”。标量投影为：
b 在 a 上的投影 = (a · b) / |a| = |b|cosθ
如果要的是投影向量，还要乘 a 的单位方向：
projab = (a · b / |a|²) a
符号也有意思投影为正：大体同路；为 0：完全侧着走；为负：大体唱反调。
几何题示范：平行四边形 ABCD 中，AB→ = a，AD→ = b。M 是 BC 的中点。
因为 BC→ = b，所以 BM→ = b；再走 AB→，得到 AM→ = a + b。
向量法解几何题，固定三步
① 选两支不共线的基础向量；② 把题中每条线段都翻译成它们的组合；③ 比系数。要证平行，就证一个向量是另一个的倍数；要证垂直，就证数量积为 0。
挑战调向量，命中目标
蓝色是固定水流 a。你调橙色划船速度 b，让合速度 a + b 正好撞上绿色目标。
通关测随机 10 题，看看真会没有
每题 5 分。数字会换，但套路就是前面那几种。交卷后逐题讲明白。
小抄考前一分钟
- 向量：大小、方向都要有。相等 = 等长同向；共线 = 同向或反向。
- 加减数乘：每个坐标各算各的。减 b 就是加 −b。
- 数量积：a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂。
- 夹角：cosθ = (a·b)/(|a||b|)，夹角范围是 0° 到 180°。
- 平行：x₁y₂−x₂y₁=0。垂直：x₁x₂+y₁y₂=0。
- 投影：标量投影 (a·b)/|a|；投影向量再乘 a/|a|。
最后一句向量就是“带方向的数”。图看不清时，把箭头写成坐标，关系就会自己露出来。